Primzahlen erkennen: vier Proben bis 100
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: die 1 und sich selbst. 7 ist eine Primzahl, 9 nicht, denn 9 = 3 × 3. Bei kleinen Zahlen siehst du das sofort. Bei 57, 91 oder 97 wird es knifflig: Alle drei sehen aus wie Primzahlen, aber nur eine ist es wirklich. Zum Glück brauchst du bis 100 nur vier Proben. Wer alle vier besteht, ist eine Primzahl. Und mehr als diese vier Proben braucht es nicht: Die nächste Primzahl nach 7 ist 11, und 11 × 11 = 121 liegt schon über 100.
Die Definition kennen
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Die 1 ist darum keine Primzahl, sie hat nur einen Teiler. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Die Primzahlen bis 20 heissen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19.
Probe 1: Ist die Zahl gerade?
Endet die Zahl auf 0, 2, 4, 6 oder 8, ist sie durch 2 teilbar. Dann ist sie keine Primzahl, ausser es ist die 2 selbst. Damit fällt schon die Hälfte aller Zahlen weg: 56, 72 und 90 brauchst du gar nicht weiter zu prüfen.
Probe 2: Endet sie auf 5?
Endet eine Zahl auf 5, ist sie durch 5 teilbar: 55 = 5 × 11, 85 = 5 × 17. Keine davon ist eine Primzahl, ausser die 5 selbst. Auf der Hundertertafel steht darum in der Spalte mit der 5 nur eine einzige Primzahl.
Probe 3: Ist die Quersumme durch 3 teilbar?
Zähle die Ziffern zusammen. Ist die Quersumme durch 3 teilbar, dann ist es auch die Zahl. 57: 5 + 7 = 12, und 12 ist durch 3 teilbar, also 57 = 3 × 19. 93: 9 + 3 = 12, also 93 = 3 × 31. 33: 3 + 3 = 6, also 33 = 3 × 11. Die Endziffer 3 macht eine Zahl noch lange nicht zur Primzahl.
Probe 4: Steht sie in der 7er-Reihe?
Die letzte Falle sind die Zahlen aus der 7er-Reihe, die bei den ersten drei Proben durchrutschen: 49 = 7 × 7, 77 = 7 × 11 und 91 = 7 × 13. Zähle in 7er-Schritten bis 98 und merk dir diese drei.
Alle vier Proben bestanden: Primzahl
Besteht eine Zahl bis 100 alle vier Proben, ist sie eine Primzahl. Es gibt 25 davon. Auf der Hundertertafel stehen die Primzahlen über 10 nur in den Spalten mit 1, 3, 7 und 9. Die Spalten mit 4, 6, 8 und 10 bleiben ganz leer, dort stehen nur gerade Zahlen.
Beispiel zum Mitrechnen
Ist 91 eine Primzahl?
Probe 1: 91 ist ungerade. Bestanden. Probe 2: 91 endet nicht auf 5. Bestanden. Probe 3: Quersumme 9 + 1 = 10, nicht durch 3 teilbar. Bestanden. Probe 4: 7er-Reihe: 70, 77, 84, 91. Treffer: 91 = 7 × 13.
Ergebnis: 91 ist keine Primzahl.
Ist 97 eine Primzahl?
Probe 1: ungerade. Probe 2: endet nicht auf 5. Probe 3: Quersumme 16, nicht durch 3 teilbar. Probe 4: 91, 98, die 97 liegt dazwischen.
Ergebnis: Alle vier Proben bestanden, 97 ist eine Primzahl.
Tipps und häufige Fehler
Häufiger Fehler: Eine Zahl für prim halten, weil sie auf 3 endet. 33, 63 und 93 sind alle durch 3 teilbar.
Die Nachbarn einer Reihenzahl sind nicht automatisch Primzahlen. Neben 42 stehen 41 und 43, beide prim. Neben 56 stehen 55 und 57, beide nicht.
Sieb des Eratosthenes: Streiche auf der Hundertertafel alle Vielfachen von 2, 3, 5 und 7. Was stehen bleibt, sind die Primzahlen.
Jetzt zum Üben
Diese Pakete trainieren genau diese Methode: